Неевклидовы геометрии

Автор - А.В. Хачатурян (зав. кафедрой математики Московской Гимназии на Юго-Западе)

1. Экскурс в далекое прошлое.
   Предмет геометрии. Евклид (прим. 330 - 275 до н.э.) и его книга "Начала". Определения, аксиомы и постулаты.
   Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
   Определение 2. Линия есть длина без ширины.
   Определение 4. Прямая есть такая линия, котрая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.
   Определение 8. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.
   "Определения", данные Евклидом, конечно, вызывают улыбку. Если попросить школьников дать свои определения точки, прямой и т. п., то у них выходит не лучше. На этом этапе важно понять, что это -- неопределяемые понятия геометрии.
   Постулаты Евклида.
   I. Требуется, чтобы от всякой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
   II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
   III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
   IV. И чтобы все прямые углы были равны.
   V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
   Здесь важно дать школьникам почувствовать некоторую архаику этих формулировок, а также причину желания многочисленых математиков доказать неестественно громоздкий пятый постулат исходя из коротких и естественных первых четырех. Интересно, что сам Евклид, видимо, пытался доказать V постулат; по крайней мере он оттягивал его использоание покуда возможно, впервые пользуясь им лишь в 29-ой теореме.
   Средневековые попытки доказать V постулат.
   Доказательства Паппа (V век), Аганиса (IX век), Хайяма (XI век). Исследования Джироламо Саккери (1733 г.) и Иоганнеса Ламберта (1766 г.). Гипотезы острого и тупого угла.
   Ламберт был замечательно близок к решению проблемы V постулата! Он писал: "Я склонен даже думать, что третья гипотеза (гипотеза острого угла -- А. Х.) справедлива на какой -нибудь мнимой сфере. Должна же быть причина, вследствие которой она на плоскости далеко не поддается опровержению, как это легко может быть сделано со второй гипотезой".
   Исследования Лежандра (1752 - 1833).
   Ф. Лежандр -- автор многочисленных исследований по геометрии, в том числе учебников. Учебники его многократно исправлялись, в частности по причине содержащихся в них ошибочных "доказательств" V постулата. Вот одно из них, в котором слушателям рекомендуется найти ошибку.
   Докажем, что сумма углов любого треугольника равна 180^o (из этого действительно вытекает V постулат, как доказал тот же Лежандр. -- А. Х.). В самом деле, пусть это не так, и сумма углов треугольника ABC S{ABC}=180^o-d, d>0. Пусть A -- наименьший (а значит, острый) угол этого треугольника. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD. Проведем через D прямую, пересекающую лучи AB и AC в точках K и L соответственно. Подсчитаем сумму углов в треугольнике AKL так: просуммируем углы в ABC, BCD, BDK и CDL, а затем вычтем три раза по 180^o, ибо углы при вершинах B, D и C составляют в сумме развернутые. Имеем: S{AKL}=2S{ABC}+S{BDK}+S{CDL}-3^.180^o=S{BDK}+S{CDL}-180^o-2d. Далее, поскольку сумма углов любого треугольника не превосходит 180^o (это также строго выведено Лежандром без опоры на V постулат. -- А. Х.), заменим S{BDK}+S{CDL} на не меньшее выражение 2^.180^o и получим S{AKL}=180^o-2d. Поступая так несколько раз, можно построить треугольники со сколь угодно малой (и даже отрицательной!) суммою углов, что несомненно есть противоречие. Утверждение доказано.
   В этом рассуждении ошибку найти значительно труднее, чем в изложенных ранее более наивных доказательствах. Заинтригованным слушателям рекомендуется подумать над вопросом до следующего занятия.

2. Лобачевский и его геометрия.
   Где только не видят школьники "ошибок" в рассуждении Лежандра! И в возможности строить параллельные, и в арифметических выкладках... Но тут-то все верно, а истинная ошибка содержится в невинной фразе: "Проведем через D прямую, пересекающую лучи AB и AC в точках K и L соответственно." Вот этого как раз и не получается сделать без V постулата! Оказывается уж совсем очевидные вещи на поверку оказываются недоказуемыми. У школьников выбита почва из-под ног, чего, собственно, и хотелось.
   Н. И. Лобачевский и его "Воображаемая геометрия". Постулат Лобачевского. Параллельные и сверхпараллельные прямые. Угол параллелизма.
   "А рельсы-то, как водится, у горизонта сходятся..." Положения геометрии Лобачевского школьники отказываются воспринимать всерьез. Они уверены, что эти "прямые" -- не прямые, и их попросту обманывают. Лобачевский такое отношение к своей работе терпел всю жизнь...
   Две прямые, перпендикулярные третьей, сверхпараллельны. Параллельные прямые сколь угодно далеко расходятся друг от друга и сколь угодно близко приближаются. Угол параллелизма меняется с изменением расстояния от точки до прямой.
   Некоторые факты геометрии Лобачевского доказываются, другие можно дать в виде задач. Школьники готовы играть по предложенным правилам, но верить в то, что такое бывает, отказываются. Интрига нарастает, и школьникам предлагается подумать над изложенным до следующего занятия.

3. Модель Пуанкаре.
   Сомнения разрешаются: демонстрируется модель, на которой своими глазами можно увидеть, как выполняются все утверждения геометрии Лобачевского.
   Модель Пуанкаре.
   Вот эта модель. "Плоскостью" отныне будет называться обычная (евклидова) полуплоскость относительно некоторой прямой, называемой "абсолютом". Сам абсолют "плоскости" не принадлежит. "Точками" назовем обычные точки "плоскости", а "прямыми" -- лучи, перпендикулярные абсолюту с вершинами на нем и полуокружности с центром на абсолюте. Про "прямые" типа "лучи" можно сказать, что это те же полуокружности, но с центром в бесконечно удаленной точке абсюлюта. Можно проверить, что все аксиомы и параллельность по Лобачевскому соблюдаются. Можно наглядно увидеть те "странные" теоремы, которые звучали на прошлом занятии.
   Геометрия на модели. Измерение углов. Многоугольники. Проверка того, что сумма углов треугольника может быть существенно меньше 180^o. Проблема измерения длин отрезков.
   Измерение длин здесь непростое. Поэтому выбран другой путь -- считать равными те отрезки, которые переводятся друг в друга движениями, то есть могут быть "наложены друг на друга". Эту фундаментальную идею предлагается обсудить в следующий раз.

4. Инверсия и ее свойства.
   Обещанное обсуждение ограничивается напоминанием видов движений в евклидовой геометрии и констатацией того факта, что они сохраняют длину отрезка. Остальное пока откладывается.
   Инверсия. Ее свойства. Образы окружностей и прямых. Сохранение углов. Инверсные образы различных чертежей.
   Инверсия сама по себе очень привлекательна. Возвращение к привычной евклидовой геометрии дает слушателям некоторый отдых. Подробности в доказательствах свойств инверсии можно опускать, если аудитория не сильна в математике (хотя ничего, кроме аппарата подобных треугольников, тут, по существу, не нужно). То, что инверсия делает с совсем простыми картинками, "прикалывает" школьников, и они начинают легко рисовать подобные. Кстати, знаете, как поймать льва в пустыне? Надо посреди пустыни поставить круглую клетку. Если лев в ней, задача решена. Если нет, надо относительно клетки сделать инверсию.
   Инверсии относительно "прямых" в модели Пуанкаре -- движения плоскости Лобачевского. Попытки построить пары "равных" отрезков.
   Здорово, если школьники осознают идею группы движений, но от них трудно этого ожидать. Можно приводить примеры групп движений евклидовой геометрии и геометрии подобия. Лучше понимают этот материал более взрослые слушатели, изучавшие в школе геометрию по учебнику Колмогорова, распространенному в 80-е годы, а ныне, к сожалению, изъятому из программы...

5. Некоторые странные теоремы.
   На школьника обрушивается ворох различных странных утверждений, в справедливости которых тем не менее легко убедиться на модели.
   Сумма углов треугольника может быть сколь угодно малой, к параллельным прямым нельза провести общего перпендикуляра, а к свехпараллельным -- можно, но только один, подобных треугольников не существует, прямоугольников не существует.
   Вот как доказывается, например, несуществование прямоугольников. Пусть некие четыре прямые образуют в пересечении прямоугольник, то есть четырехугольник, у которого все углы прямые. Инверсией переведем одну из прямых в прямую типа "вертикальный луч" (для удобства сочтем абсолют горизонтальной прямой). Тогда пересекающиеся с ней прямые, очевидно, типа полуокружностей с центром в начале луча. Четвертая прямая должна быть тем двум перпедикулярна. Значит, она заведомо имеет тип "полуокружность", центр которой удален от начала луча на a, а радиус которой равен r. Но по теореме Пифагора, если радиусы упоминавшихся двух полуокружностей R₁ и R₂, имеем a²=R₁²+r² и a²=R₂²+r², что несовместно. Значит, прямоугольников не бывает.
   Четыре признака равенства треугольников (добавлен еще один -- по трем углам).
   Справедливость привычных, "школьных" признаков равенства успокаивает школьников, тем более, что верны и их следствия, старые, хорошо знакомые факты типа того, что у равнобедренного треугольника равны углы при основании. Однако четвертый признак обескураживает, в привычной геометрии он говорит лишь о подобии, а не о равенстве треугольников; ах да, ведь подобных треугольников здесь не бывает...
   Тут разумно расстаться с геометрией Лобачевского, ибо дальше не удастся избежать сложных вычислений. А в заключение можно сказать несколько слов о том, как неожиданно эта геометрия нашла себя в теоретической физике.

6. Геометрия в духе Эрлангенской программы.
   Это занятие в основном посвящено промежуточному зачету, где школьники решают задачи по геометрии Лобачевского, но в конце остается время для декларации новой глубокой идеи.
   Феликс Клейн и его Эрлангенская программа. Понятие о группе вообще и группе преобразований в частности. Группы движений и подобий. Геометрия как наука, изучающая инварианты групп преобразований.
   От нематематиков трудно ожидать, что они полностью осознают такие серьезные вещи, даже если пытаться их по возможности популяризовать. Тогда вторая часть курса будет для них некоторой абстрактной игрой, совсем, впрочем, небесполезной.

7. Группа Галилея и начальные понятия новой геометрии.
   Группа Галилея.
   Пусть на плоскости введены координаты (t,x) (смысл обозначений в дальнейшем прояснится). Рассмотрим преобразования вида (t,x)->(t+t, x+vt+l), где t, v и l -- произвольные действительные параметры.
   Указанные преобразования образуют группу. Мы назовем ее группой Галилея. Это связано с известным законом сложения скоростей Галилея, который можно здесь усмотреть, трактуя l как сдвиг системы отсчета по координате, t -- как сдвиг по времени, а v -- как скорость ее равномерного прямолинейного движения.}
   Физическим аналогиям (простейшим!) стоит уделить внимание. Закон сложения скоростей все, слава Богу, еще помнят. Тем более интересно, какая геометрия может получиться из таких простых преобразований (они на порядок проще, чем евклидовы движения).
   Прямые и особые прямые (вертикальные). Их инвариантность. Параллельные прямые.
   Час от часу не легче! Теперь прямые раздвоились! Хотя физически все ясно: прямые -- графики равномерного движения, а особые прямые -- моменты времени.
   На этом учащимся надо дать время переварить полученную информацию, загрузив их какой-нибудь задачей, например: как написать преобразование из G, которое переводит данную конкретную прямую в другую данную конкретную? На следующем занятии можно уже поговорить о равенстве и измерении фигур.

8. Измерение отрезков и углов.
   Растояние и особое расстояние.
   Определим расстояние между точками d((t₁,x₁),(t₂,x₂)) как t₂-t₁, если t₂ не равно t₁; если же t₂=t₁, то определим особое расстояние d((t₁,x₁),(t₁,x₂))=x₂-x₁.
   Внимание: расстояние между точками зависит от порядка их следования и может быть как положительным, так и отрицательным!
   G сохраняет растояние. Окружность. Измерение углов.
   А окружность -- это просто пара особых прямых! То ли еще будет!?
   В обычной геометрии угол между прямыми определяется как длина дуги единичной окружности, отсекаемой ими. Так же поступают и в геометрии Галилея. Угол так же, как и расстояние, зависит от порядка следования прямых, то есть является ориентированным.
   G сохраняет углы.
   Геометрия совсем странная. Стоит только попробовать чего-нибудь нарисовать, например, равнобедренный треугольник...

9. Некоторые странные теоремы.
   Центральное занятие в этом разделе. Если теоремы Лобачевского хоть на что-то похожи, то тут полная вакханалия! Но -- удивительное дело -- все строго и логично, да и доказывается просто!
   Равенство треугольника (в любом треугольнике ABC верно AB+BC=AC). Сумма углов треугольника (в любом треугольнике ABC ABC+BCA+CAB=0)."Теорема синусов"(в любом треугольнике ABC AB/ACB=BC/BAC=CA/CBA). Теорема о медианах (медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1).
   Ну хоть с медианами как у людей. И то только потому, что середина отрезка в этой геометрии там же, где и у Евклида. А все остальное...
   Особая прямая по отношению к прямой называется перпендикуляром.
   Через любую точку можно провести ровно один перпендикуляр к данной прямой. Высоты треугольника не пересекаются в одной точке. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, но не является биссектрисой.
   Последнее утверждение совершенно добивает. Его уж все твердо помнят со школы. А биссектриса в равнобедренном треугольнике вообще не пересекается со стороной, на которую якобы опущена!
   Вообще всю эту геометрию школьники востпринимают как пародию на школьный учебник и с интересом играют в игру: "а ну-ка посмотрим, выполняется ли такая-то теорема?" Сюрпризы на каждом шагу: самые простые вещи оказываются неверными, а довольно изысканные факты (например: биссектриса неравнобедренного треугольника делит основание на части, длины которых пропорциональны длинам боковых сторон) -- почему-то верными. На этом занятии каждому можно дать подумать над своей задачей.

10. Двойственность.
    Двойственность (соответствие точек и прямых).
    О двойственности обычно говорят в связи с проективной геометрией. Но в геометрии Галилея она тоже имеет место, так что грех не рассказать.
    В обычной геометрии можно заметить некоторое сходство между точками и прямыми. Например "две прямые пересекаются в одной точке" и "через две точки проходит одна прямая". Угол между прямыми является в некотором роде аналогом расстояния между точками и т.п. Но в этом сходстве есть и ряд исключений, например отсутствие параллельных точек, ограниченность углов в противовес неограниченности расстояний и пр. Все эти "неувязки" ликвидированы в геометрии Галилея. Именно, здесь справедлив так называемый принцип двойственности, то есть возможно установить такое соответствие между точками и прямыми, что 1) образ любой точки на прямой содержит образ этой прямой и наоборот; 2) параллельные прямые соответствуют параллельным точкам и наоборот; 3) угол между прямыми равен расстоянию между их образами и наоборот. Доказательство этого утверждения не входит в нашу программу, но его необходимо понимать и уметь использовать. Суть его в том, что в любом рассуждении можно поменять слово "точка: на "прямая" и обратно, а расстояния заменить на углы. Если утверждение было истинным, то будет справедливым и полученное таким образом "двойственное" к нему утверждение.
    Предложения о равенстве треугольника и сумме углов треугольника лвойственны друг другу. Утверждение, двойственное к тому, что медиана равнобедренного треугольника совпадает с высотой, состоит в том, что биссектриса параллельна основанию. Другие примеры. Параллелограмм и антипараллелограмм. Трапеция и антитрапеция.
    Играть в двойственность тоже очень занимательно. Приятно, когда теорема получается "сама собой", да еще вместе с доказательством! Здесь тоже есть интересные задачи для домашнего продумывания, например: существуют ли самодвойственные утверждения?

11. Что дальше?
    Заключительное занятие, посвященное решению задач для зачета. (Вот пример: докажите, что диагонали параллелограмма пересекаясь, делятся пополам. Постройте двойственное утверждение.) Кстати, ответ на последний вопрос прошлого занятия: да, например "теорема синусов". А вот что дальше? Можно и дальше углубляться в геометрию Галилея...
    Циклы.
    Назовем циклом некий аналог окружности -- множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Что представляет собой цикл?
    Оказывается, цикл -- это парабола! Изучим свойства циклов?!
    Общий взгляд на геометрии. Другие системы аксиом. Понятие о геометрии Римана.
    Цикл занятий завершается. Вероятно, слушатели получили представление о неевклидовых геометриях, о многообразии миров, о странных, но логически безупречных системах, которые придумали математики, и которые вдруг оказались где-то применимыми.
    "Есть многое на свете, друг Горацио, что недоступно нашим мудрецам".
    Яндекс.Реклама
    Решай задачи длина окружности математика за 6 класс